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Rekursion und Feigenbaumdiagramm

Die Erklärungen findet man ausführlich bei
Didaktische Bemerkung:
Ursprünglich haben die Rekursionen an der logistischen Parabel und das zugehörige Feigenbaumdiagramm als Teil des großen Themas Chaos und Fraktale die in den Neunziger Jahren Aufmerksamkeit der Öffentlichkeit und auch der Lehrerschaft auf sich gezogen.
Es handelt sich aber um ein ganz allgemeines mathematisches Phänomen, das immer auftritt, wenn eine Trägerfunktion abhängig von einem Parameter ihre Steigung in den Fixpunkten variiert.
Wenn dabei der Übergang von flachem Schneiden zu steilerem vollzogen wird, findet der Eintritt in eine Bifurkatuionskaskade und dann ein volles Feigenbaumdiagramm (Attraktordiagramm) statt.
Das eröffnet der schulischen Behandlung ein weites Feld, denn es bieten sich reichhaltige Möglichkeiten das Parabelverständnis zu wiederholen, es  kann der Steigungsbegriff vorbereitet oder angewendet werden. Etliche in den Klassen 10 und 11 zu lehrende Grundfertigkeiten können hier in einem interessanten, ja sogar spannenden Zusammenhang nahegebracht werden.
Es eignen sich beliebige Funktionenklassen und es ist viel Platz für Erkundungen seitens der Lernenden.
Beachten Sie dazu auf jeden Fall die interaktiven Möglichkeiten.
Die Blick auf die "Mehrfach-Iterierten" bietet Überlegenungen bis zum Hochschulniveau.
  • Als weiteres Werkzeug für diesen Bereich istTurboplot geeignet.
    Didaktisch wertvoll ist die Umschaltbarkeit zwischen den üblichen Zeit-Graphen und der Spinnwebgraphen.
    Dazu ist auch das Attraktor-Diagramm (=Feigenbaum-Diagramm) und die Betrachtung der Iterierten möglich.

    • Kleine Bilderschau

    rekurs1b


    feigenbaum
    Feigenbaumdiagramm

    Parameter r von 2,9 bis 4
    rekurs1c

    Chaotisches Verhalten
    trotz einfachster Gleichung


    Mehrfach-Iterierte
    ermöglichen das Verständnis der Bifurkationen

    iterierte
    Feigenbaumdiagramm der Kosinus-Iteration an+1=r*cos an
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